Most recent comments
Liveblogg nyttårsaften 2017
Tor, 11 months, 1 week
Jogging og blogging
Are, 1 year, 11 months
Liveblogg nyttårsaften 2016
Are, 1 year, 11 months
Reading in dark times
Are, 2 years
Moldejazz 2016
Camilla, 2 years, 4 months
Dørskilt
Karoline, 2 years, 4 months
Halifax
Tor, 2 years, 5 months
Sony Smartwatch 3 review
Tor, 2 years, 6 months
Numerikk, takk
Tor, 2 years, 6 months
Topp tur
Camilla, 2 years, 8 months
50 book challenge
Camilla, 11 months, 1 week
Ten years ago
Pics or it never happened!
Tor
Controls
Register

Å sammenligne uendeligheter

Jeg snakket en jeg kjenner ved universitetet i Edinburgh her en dag, og han kunne fortelle at han nettopp hadde overbevist sin ti år gamle sønn om ikke alle uendeligheter er like store. Han hadde tatt utgangspunkt i de hele, positive tallene, og sagt til sin sønn at han kunne skrive opp alle oddetallene, mens han selv tok alle hele tall. Da var det vel åpenbart at han til slutt ville ha dobbelt så mange tall som sønnen, noe sønnen motvillig gikk med på.

Der og da tenkte jeg ikke så mye utover saken, utenom at det virket som en noenlunde oppvakt tiåring, men litt senere innså jeg at det ikke stemmer. Det vil si, alle uendeligheter er ikke like store, men de to i dette eksempelet er faktisk det. Ethvert positivt oddetall kan nemlig skrives på formen



som betyr at for ethvert positivt heltall finnes det et positivt oddetall. Altså er det like mange av dem. Funky, eller hur?

-Tor Nordam

Comments

Matteus,  19.11.10 08:35

Braintwist. Logikk som kjemper mot intuisjon. Liker det.
Camilla,  19.11.10 09:11

Tenk.
Knut,  19.11.10 11:00

For når heltallspersonen er kommet til \inf har oddetallspersonen kommet til 2\inf +1, og altså har heltallspersonen en hel \inf (+1 hvis du insisterer) til gode!

Matteus,  19.11.10 11:21

Men poenget er vel ikke hvor langt man har kommet når man teller, men hvor store uendeligheter er. Hvis det for hvert naturlige tall finnes et oddetall, så vil man dersom man tar alle naturlige tall kunne ha like mange oddetall.

Man har bare en større mengde naturlige tall dersom man antar at man etterhvert kommer til en slutt i tellinga, men det gjør man ikke i uendeligheter, og det er vel bevist at det finnes uendelig mange naturlige tall.

Matteus,  19.11.10 11:21

Har du et kjapt eksempel på to uendeligheter som ikke er like store, Tor, så vi kan se forskjellen.

Matteus,  19.11.10 11:24

Denne er et fint eksempel på det samme: http://en.wikipedia.org/wiki/Galileo's_paradox
Tor,  19.11.10 11:29

Poenget er nettopp det Matteus sier, at uendelig er ikke det samme som et kjempestort endelig tall.

De reelle tallene er mer uendelig enn de hele tallene. For eksempel, for ethvert helt tall n har du er reelt tall 1/n. Så kan du gjøre det samme med 1+1/n, 2+1/n, ogsåvidere.
Matteus,  19.11.10 11:34

Så da har du uendelig mange flere reelle tall enn hele tall. Men er det eksepler på en uendelighet som er en endelig faktor større enn en annen? Jeg forestiller meg at det ikke er mulig, men stemmer det?
Tor,  19.11.10 13:52

Jeg tror det er nettopp det som er poenget, at to ganger uendelig er fortsatt bare uendelig.

B,  19.11.10 23:05

jeg tenker at en uendelighet opphøyd i uendelig er uendelig mye større en den opprinnelige uendeligheten, men uendelig mindre enn den endelige uendeligheten.
Knut,  22.11.10 12:23

Fra Tors post: "De reelle tallene er mer uendelig enn de hele tallene. [Fordi] for ethvert helt tall n har du er reelt tall 1/n."
Fra Tors artikkel: "... for ethvert positivt heltall finnes det et positivt oddetall. Altså er det like mange av dem."

Da jeg leser den siste uttalelsen til å bety at de er like uendelige, så velger jeg å tolke dette som en selvmotsigelse. Med mindre Tor mener at du kan snike inn flere reelle tall mellom de hele tallene, type 1/n, 1/(n-1), ..., 1/(n+-x). Dette vil man forstå som at de reelle tallene er uendelig fler enn de hele tallene, som det også er uendelig mange av. "uendelig*uendelig>uendelig". I Tors artikkel lærer vi at for hvert oddetall finnes to hele tall, og av dem finnes det uendelig mange. "2*uendelig>uendelig". Nå vil Tor sette likhetstegn i den siste ulikheten og Galilei ville vært enig, men Galilei ville også ha krevet å sette likhetstegn i den første ulikheten! Dette fordi han mener at uendelig er uendelig og utenfor vår fatteevne og tallsystem.

Praktisk (og kanskje moralsk?) står Galilei på høyere grunn. Hadde jeg hatt flere klinkekuler enn jeg gidder å telle hadde jeg hvertfall ikke giddet å telle dem hvis jeg hadde fått dobbelt så mange. Teoretisk sett kunne jeg selvfølgelig ha talt dem. Moralen kommer eventuelt inn i bildet hvis man ser på hvordan vi løser dette problemet. Først så velger vi å skille mellom tellbare og ikke-tellbare uendeligheter. Det er nå så, men så begynner vi å ville regne med uendelighetene. Hvis vi nå gjør slik som vi har gjort hittil i kommentarene, så redefinerer vi egentlig uendelig til 1 og sier "én uendelighet", ergo gir det mening å si at 2*1>1 osv. Det eneste vi har gjort er å gjenoppfinne episirklene. (Plutselig var ikke det en så dum idé, eller? =)

Det er feigt (juks?) å prøve å bruke samme løsning på et helt nytt problem (_helt_ nytt, vi vet alle at hammeren kan brukes til så mangt). T(h)oriumreaktorer er nok et eksempel på dette. I situasjoner hvor mennesker bli å møte nye ting er det nærmest en refleks å vende seg til kjente løsninger. Det er jo en god overlevelsesmekanisme, men jeg skulle håpe at vi snart kunne vokse fra slik oppførsel.

Moral var kanskje feil ord.
Tor,  22.11.10 12:47

Jeg er ingen ekspert på dette her, og det var heller ikke Galelei (skjønt han kan godt ha hatt mer peiling enn meg). Det er ganske mange etter ham som har tenkt ganske hardt og lenge på disse på tingene, blant annet Georg Cantor, som sa at to sett har samme kardinaltall hvis det finnes en en-til-en mapping mellom dem. Dette gjelder altså for oddetallene og heltallene, som begge har kardinaltall .

Merk forøvrig at mens det stemmer at de reelle tallene er en større uendelighet, med kardinaltall , stemmer ikke eksempelet jeg ga tidligere. Med eksempelet mitt vil man åpenbart bare konstruere rasjonale tall, og ikke en gang alle de rasjonale tallene. De rasjonale tallene er dessuten tellbare på samme måte som heltallene, hvis man finner på en tilstrekkelig funky mapping (hva heter mapping på norsk), og har dermed samme kardinaltall som heltallene.

Forøvrig, jeg sakser villt fra wikipedia:
In mathematics, the continuum hypothesis (abbreviated CH) is a hypothesis, advanced by Georg Cantor in 1877, about the possible sizes of infinite sets. It states:
There is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and that of the real numbers.

Establishing the truth or falsehood of the continuum hypothesis is the first of Hilbert's twenty-three problems presented in the year 1900. The contributions of Kurt Gödel in 1940 and Paul Cohen in 1963 showed that the hypothesis can neither be disproved nor be proved using the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, the standard foundation of modern mathematics, provided ZF set theory is consistent.


Med andre ord, det er umulig å vise at det finnes et sett som er et endelig antall ganger større enn et uendelig sett.
Matteus,  22.11.10 15:46

Ja, leste at de rasjonale tallene har samme kardinalitet som heltallene, men klarte ikke øyeblikkelig å se mappingen. Tror bare man må tenke omvendt, at alle heltall kan mappes til de rasjonale tallene, s.a. n -> 1/n.

Men nå ble jeg usikker, fordi de rasjonale tallene kan jo mappes til de reelle, men ikke omvendt.

Hva med at hvert rasjonalt tall tilsvarer et tallpar (teller, nevner): (1,1), (1,2), (2,2), (1,3), (2,3), (3,3) osv. Da finnes det en mapping fra hvert tallpar til ett heltall.

da man sier at så og så mange uendeligheter klassifiseres som N_0 mens en uendelig uendelighet blir 2^N_0. Nå har vi definert en ting som heter kardinaltall som betegner graden av uendelighet i uendeligheter. Saksing fra wikipedia:

Kardinaltall kaller vi det når tallordet forteller noe om hvor mange. Dette kan vi også kalle for mengdetall eller antall. Her skiller vi ofte mellom to hovedtyper:
Hovedtype A: Tallordet angir antallet objekter, for eksempel 5 klosser.
Hovedtype B: Tallordet angir antallet måleenheter, for eksempel 4 meter.

Altså for eksempel 5 uendeligheter. Det blir også artig når man sakser videre og tar med neste setning:


Når barn utvikler kardinaltallsbegrepet, ser vi ofte eksempler på at noe av det første de lærer er å skille mellom en-to-mange. Små barn kan ofte skille mellom små mengder, mens større mengder blir bare betegnet som mange. Dersom barnet har et fullt utviklet kardinaltallsbegrep, innebærer det at de:
kan telle
kan svare på spørsmålet om hvor mange ved å oppgi det siste ordet i tellingen
har antallskonservering (dvs. at antallet er uavhengig av hvordan en teller, hva slags objekter som telles, osv.)


"They would be small, mere children to your eyes"
Tor,  23.11.10 17:43

Hva er det egentlig vi snakker om, jeg er sannelig ikke sikker lengre. Er du fortsatt uenig i at heltallene og oddetallene er like store sett? I såfall, tillat meg å sakse fra wikipedia igjen:

Cantor proved that any unbounded subset of N has the same cardinality as N, even if this might appear at first view, to run contrary to intuition.


Jeg aner ikke hvordan beviset går, men jeg føler et visst behov for å kjøpe noen bøker om temaet, så jeg kan finne det ut.

enn du?

Jeg er fortsatt uenig at de er like store mengder, men jeg går med på at de har samme kardinalitet. Noen som har Cantor's greatest hits på e-bok?
Kristian,  24.11.10 13:36

Kardinaltall er den meningsfulle størrelsen for å sammenligne uendeligheter.

Derfor er det mer meningsfullt å si at det er like mange reelle tall som det er heltall, som å si det omvendte.

Alle uendeligheter er ikke like store.
Tor,  05.02.11 11:27

Jeg synes det er kjempemorsomt at noen har funnet denne artikkelen ved å google Matteus 19.11
Tor,  10.03.12 22:05

Jeg greide nettopp å starte opp igjen denne diskusjonen i leiligheten her. Hours of fun.

Anders K.,  11.03.12 18:28

Jeg prøvde å skjønne dette, men datt av etter setning nummer én. Jeg hentet meg riktignok inn igjen da jeg leste "Hva er det egentlig vi snakker om, jeg er sannelig ikke sikker lengre."
Matteus,  12.03.12 16:01

Jeg sitter og leser om Cantors diagonalargument for utellbare uendeligheter. Veldig funky. Men mappingen derfra til de reelle tallene er ikke like koselig. Er du i Trondheim i påsken, Tor?
Tor,  12.03.12 16:10

I påsken er jeg i Molde, stort sett.
Category
Miscellaneous
Tags
tallteori
uendeligheter
hele tall
Views
2554