Most recent comments
Liveblogg nyttårsaften 2017
Tor, 11 months, 3 weeks
Jogging og blogging
Are, 1 year, 11 months
Liveblogg nyttårsaften 2016
Are, 1 year, 11 months
Reading in dark times
Are, 2 years, 1 month
Moldejazz 2016
Camilla, 2 years, 4 months
Dørskilt
Karoline, 2 years, 5 months
Halifax
Tor, 2 years, 6 months
Sony Smartwatch 3 review
Tor, 2 years, 6 months
Numerikk, takk
Tor, 2 years, 6 months
Topp tur
Camilla, 2 years, 8 months
50 book challenge
Camilla, 11 months, 3 weeks
Controls
Register

For folk som vil henge med Platon

Som et ledd i Tors onde plan om å øke dannelsen til den jevne leser, så har han overtalt meg til å skrive et innlegg som forhåpentligvis kan virke dannende. Senere har jeg kanskje tenkt å poste sporadiske innlegg som sannsynligvis ikke er fullt så dannende, men derimot kraftig unionsvennlige i dette nådens år 2005. Men først dannelsen:

Over døra til Platons akademi sto det at folk (frie menn som hadde tid til å gå på skole) bare kunne glemme å komme inn der dersom de ikke hadde litt peiling på geometri. Da Platon til tider ikke var fullt så tøysete som Aristoteles, så tar vi hans ord til ettertanke i denne dannelsesuka og slenger opp en kort innføring i denne edle gren av matematikken.

Euklid var en snodig skrue som hadde litt peiling på geometri, og kastet opp fem postulater (påstander som var så åpenbare at ingen i hele verden burde finne på å prøve å bevise dem). Mange mente at Euklids postulater var alt man trengte å vite om geometrien (dette er selvfølgelig langt fra sannheten, men de visste nok ikke bedre i antikken). I dag skal vi kun bruke Euklids første postulat:

Euklid I: For hvert punkt P og hvert punkt Q forskjellig fra P finnes det kun én linje gjennom P og Q.

Dette, i tillegg til noen enkle forestillinger om linjer (rette linjer) og punkter, er alt vi trenger for å bevise en enkel og intuitiv hypotese i geometrien: To forskjellige linjer l og m som ikke er parallelle skjærer hverandre i kun ett punkt

Dette kan gjøres på to måter, lekmannsmetoden og matematikermetoden. Vi begynner med matematikermetoden:

1. Da l og m ikke er parallelle har de minst ett punkt felles. Dette følger direkte fra definisjonen av parallelle linjer (Parallelle linjer er linjer som ikke har noen punkt felles).

2. Følg med, for her kommer trikset i beviset. Vi antar at l og m har to forkjellige punkter A og B til felles. Den våkne leser vil kanskje reagere, da dette er omtrent det motsatte av det vi skulle bevise, men dette er et lurt matematikertriks.

3. Da l og m er forskjellige linjer (dette følger jo direkte fra hypotesen vår) ligger både A og B på mer enn én linje, noe som er i klar strid med Euklids første postulat.

4. Nå har vi altså klart å ende opp i stry, fordi man kan ikke uten videre ta opp kampen med Euklids postulater. Det finnes to utveier: enten så er l og m samme linje, eller også skjærer l og m hverandre i kun ett punkt.

5. Da vi hadde bestemt at l og m er to forskjellige linjer (dette er lov, da man ut i fra en del andre postulater kan bevise at det finnes mer enn én linje i verden), må de skjære hverandre i kun ett punkt. q.e.d.

En uerfaren matematiker vil kanskje si at vi kun har motbevist at l og m kan ha to felles punkter; hva med tre eller fire eller mange? Fortvil ikke, for da gjennomfører vi samme argumenter som oven for hvert punktpar, inntil vi sitter igjen med kun ett punkt.


Lekmannsmetoden:

Vi tegner to linjer som skjærer hverandre. Så setter vi en ring rundt skjæringspunktet og sier: ”Se her! Bare ett punkt.” Dette kan utdypes med: ”Alle ser jo at hvis vi har flere punkter så kan ikke linjene være rette”


Mens lekmannsmetoden uten tvil tar mindre plass, og er mer intuitiv for mannen i gata (gitt at han ikke er en gatematematiker) så gir den deg ikke gratis inngang på Platons akademi. Velg selv.
Camilla likes this

Comments

Tor,  06.02.05 21:53

Fin artikkel. Jeg likte lekmanssbeviset best. Det er litt gatemattematikk. Nesten som i mangfoldigheter i forrige uke, sa Idar Hansen sa han ikke gadd å bevise noe, men han kunne tegne litt for oss, også skrev han "proof" (med hermetegnene), og lagde en tegning. Jeg vet jeg har fortalt denne historien tidligere, men selv om jeg er fæl til å fortelle historier flere ganger uten å vite det også, så er det håp for meg. Det står nemlig i Hagakure at man skal lytte til historier fra de eldre som om man aldri hadde hørt dem får, så kanskje man oppdager nye ting i dem.

Ellers får du neppe mange kommentarer, fordi folk flest er late og bare kommenterer øverst, og jeg er ansvarlig for at to poster har havnet rett over din. Muahahahahahah.

Matteus,  06.02.05 22:04

Frekke Tor. Hvis ingen kommenterer posten min så skal jeg ta en grusom hevn. Hver gang du skriver nye innlegg så skal jeg poste kjempalnge innlegg like etter slik at du aldri mer får kommentarer. Da kan du nok ikke kalle deg spaltist lenger, nei.

Are,  07.02.05 02:22

Hehe, egentlig burde vi ha faste dager i uka eller noe, så lenge vi ikke skriver om ting som er veldig tidsrelevante. Kanskje vi skulle prøvd å få til det? Samtidig er det jo litt stress å måtte hoste opp noe til en bestemt tidsfrist.. velvel.

I alle fall - det var morsomt å lese et matematisk bevis uten å være på skolen og ta et eller annet mattefag. Vanligvis hater jeg sånne bevis; nå er jo dette nokså trivielt, da, men vanligvis er det uansett ikke noe morsomt å lese. Hipp hurra. Jeg lar meg overvelde av variasjonen vi presterer her nå :) Burde nesten prøve å få frontet flere artikler samtidig - nå fins det jo en oversikt i den venstre kolonnen over de sist skrevne artiklene, men en mer avis-aktig layout hadde også vært kult.

Et annet minus er at kommentarer som strengt tatt ikke her helt relevante til posten forsvinner fort langt ned på siden. Velvel; det gjelder vel bare å nevne det neste gang jeg poster sjøl.

Diverse,  07.02.05 22:34

I og med at jeg nok ikke ville hatt adgang til akademiet, velger jeg å se bort fra platons gærne ideer om nødvendig kunnskap.
Nå må det sies at han jo var litt mindre kvinnefiendtlig enn sin elev idioten, men jeg er sikker på at matte-besettelsen henger sammen med misogynismen.
Ellers var platon på sitt beste når han kritiserte demokratiet.
Hilsen Camilla

Torgar,  06.12.05 12:17

Nå synes jeg Calcuttaguttas lesere må stå sammen mot det(den) onde og kommentere denne posten. Det hadde vært kult med flere av Euklidspostulater og slikt.

Lene,  06.12.05 13:54

Ettersom jeg er i ferd med å dø en sakte død fordi jeg sitter og leser til eksamen i matematisk optimering, er jeg helt klart for flere matematiske bevis. Men jeg foretrekker den "ordentlige" varianten!
Category
Miscellaneous
Tags
Views
2682
Google hits
4
Last google search
euklids fjerde postulat