Most recent comments
Liveblogg nyttårsaften 2017
Tor, 11 months, 2 weeks
Jogging og blogging
Are, 1 year, 11 months
Liveblogg nyttårsaften 2016
Are, 1 year, 11 months
Reading in dark times
Are, 2 years
Moldejazz 2016
Camilla, 2 years, 4 months
Dørskilt
Karoline, 2 years, 5 months
Halifax
Tor, 2 years, 5 months
Sony Smartwatch 3 review
Tor, 2 years, 6 months
Numerikk, takk
Tor, 2 years, 6 months
Topp tur
Camilla, 2 years, 8 months
50 book challenge
Camilla, 11 months, 2 weeks
Controls
Register

Grassmann-tall

Det var en gang en mann som het Hermann Grassmann. Han var visst litt av en helt, i følge wikipedia. Jeg sakser fra artikkelen om ham:

Hermann Günther Grassmann (April 15, 1809, Stettin (Szczecin) – September 26, 1877, Stettin) was a German polymath, renowned in his day as a linguist and now admired as a mathematician. He was also a physicist, neohumanist, general scholar, and publisher. His mathematical work was not recognized in his lifetime.


Videre står det at han bortimot egenhendig oppfant lineær algebra, men at ingen skjønte hva han drev med, så han begynte å sysle med lingvistikk i stedet. Det ante jeg faktisk ikke.

Det jeg derimot vet, er at han fant noe funky greier som heter Grassmann-tall, eller Grassmann-variable. Og det heller var det nok ikke så mange som brydde seg om på 1800-tallet, men på 19060-tallet, når folk begynte å sysle med kvantefeltteori på skikkelig vis, da var det en russer som het Berezin som fant frem tallene til Grassmann, og viste at de kunne brukes til ting.

Grassmann-tall har den funky egenskapen at de antikommuterer. Det vil si at hvis eta og theta er to Grassmann-tall, så har vi:



Fra dette kan vi slutte at produktet av et Grassmann-tall med seg selv må være null. Hvis ikke blir det bare tull.



Det har imidlertid også en interessant konsekvens. Grassmann følte at det var en viktig egenskap ved funksjoner av vanlige tall at de kan rekkeutvikles, og han så ingen grunn til at Grassmann-tallene skulle være annerledes. Men siden kvadratet av et Grassmann-tall er null, betyr det at den lengste rekkeutviklingen, og dermed den mest generelle funksjonen, av et Grassmann-tall er



der a og b er vanlige tall.Spennende, spennende. Videre følte Grassmann at det var en viktig egenskap ved ordinære integraler at man kunne skifte litt på integrasjonsvariabelen uten at det gjorde så mye. Spesifikt at man kunne gjøre slik:



Så dermed bestemmer vi at vi kan gjøre det samme med et integral over en funksjon av Grassmann-tall:




Og nå kommer vi til punktet der jeg begynner å stusse. Noen lærebøker slutter nemlig derfra til at



Det er jeg imidlertid ikke villig til å gå med på sånn helt uten videre. Det er for eksempel greit nok at



Men det er vel ingen som slutter derfra til at



Jeg mistenker imidlertid at



og videre



egentlig er en definisjon, heller enn noe man kan vise. Hvordan det fremstilles kommer imidlertid ganske mye an på hvilken lærebok man ser i. Nesten enda mer diffust argumenteres det imidlertid for



Der sier man gjerne noe slikt som at produktet av to Grassmann-tall er et vanlig tall, noe man kan se fra



føler man at et Grassmann-tall integrert med hensyn på seg selv bør være et vanlig tall, så hvorfor ikke 1?

Såh. Grunnen til at jeg tenker på dette akkurat nå, i stedet for på solceller og/eller fortran, er at det nærmer seg eksamen i et av fagene jeg tar, og det faget handler om slikt som dette. Når jeg er ferdig med denne eksamenen har jeg tatt to av fagene jeg trenger i doktorgraden, så da mangler jeg fortsatt to. Dette kan med andre ord bli min tredje siste eksamen noensinne. Ikke verst, ikke verst.

I morgen: Verdens mest hypede supermagnet.

-Tor Nordam

Comments

Kristian,  26.05.10 09:42

Dette var et hyggelig gjensyn.

Tor,  26.05.10 12:56

Ja, jeg tenkte nok at du hadde sett slikt før. Men har du svar på det jeg lurer på?

Ole Petter,  26.05.10 14:31

Ah, gode gamle Grassmann... jeg har glemt ganske mye, men dette var en fin oppfriskning.

Jeg mistenker at man rent formelt må starte med noen definisjoner/aksiomer slik at integrasjons-operasjonen har noen få egenskap som ligner det vanlige integralet. Skal vi se....litt googling indikerer at:
Integrasjon bør være en lineær operajon (i en eller annen forstand), og det infinitesimale Grassmanntallet bør antikommutere.
Fra der mistenker jeg at man kan vise at int deta = 0, og at int eta deta = en konstant (som man kan sette til 1). Og herfra kan man vise det meste. Tror jeg.

Det at produktet av to Grassmann-tall er et vanlig tall hadde jeg helt glemt, men det ser jo ut til å oppfylle de riktige reglene...men teknisk sett er det vel noe ytre-algebra-greier ute å går?

Uansett, denne repetisjonen gjør at jeg får lyst å lese litt om fermioner og motivasjonen for alt sammen...hvorfor var det fermioner måtte antikommutere igjen?

PS: de integralene (av f.x (a+bx)) fra - til + uendelig er litt tvilsomme, er de ikke?


Tor,  26.05.10 15:10

Jo, de er vel det. Men kanskje ikke mer tvilsomme enn mye annet i kvantefeltteori.

Tor,  30.05.10 12:16

Jeg har diskutert dette med Kåre nå, og han var enig i at de tingene jeg stusset på er definisjoner, og ikke noe man kan vise. Det som kommer før er bare et slags forsøk på å motivere hvorfor vi ønsker å definere det akkurat slik.

Og de integralene over vanlige funksjoner er vel egentlig ment å gjelde for integrerbare funksjoner, hvis integrerbar betyr at integralet blir endelig.

Tim,  30.05.10 16:04

Is that the same Grassmann who discovered Grassmann's law in Ancient Greek? Clearly he was a clever chap.

Unfortunately I got lost about halfway through your article, as neither Norwegian nor linear algebra is my native language.

Tim,  30.05.10 16:07

Also, he must have made his mathematical discoveries before his linguistic discoveries, or he wouldn't have put a ϕ and a θ in the same expression.

Grassmann's law

Tor,  30.05.10 16:40

Ah, that's completely my fault. One usually represents Grassmann numbers by Greek letters, by I have no idea if Grassmann himself did this, and if so, which letters he preferred.

Tim,  30.05.10 18:13

That was actually a philological joke. You may need to read the article before you get it.
Category
Physics
Tags
fysikk
Grassmann-tall
Views
2486