Most recent comments
Liveblogg nyttårsaften 2017
Tor, 11 months, 2 weeks
Jogging og blogging
Are, 1 year, 11 months
Liveblogg nyttårsaften 2016
Are, 1 year, 11 months
Reading in dark times
Are, 2 years
Moldejazz 2016
Camilla, 2 years, 4 months
Dørskilt
Karoline, 2 years, 5 months
Halifax
Tor, 2 years, 5 months
Sony Smartwatch 3 review
Tor, 2 years, 6 months
Numerikk, takk
Tor, 2 years, 6 months
Topp tur
Camilla, 2 years, 8 months
50 book challenge
Camilla, 11 months, 2 weeks
Five years ago
Endelig \(\LaTeX\)-støtte
Tor
Controls
Register

Christoffelsymbolene

Her en dag bestemte jeg meg for å regne ut Christoffelsymbolene i polarkoordinater i flatt rom. Det var ikke akkurat «et øyeblikks opplysning» eller noe slikt, og det hadde jo egentlig vært mye kulere, men jeg bestemte meg i alle fall. Riktignok hadde veilederen min sagt at jeg burde regne ut Ricci-skalaren i polarkoordinater i flatt rom, fordi «det er ganske lærerikt, og vil neppe ville ta mer enn et par dager», og da er Christoffelsymbolene et naturlig første skritt, men det var jeg til syvende og sist jeg som bestemt at jeg ville gjøre det.

Som vi vet er firervektorer gitt ved



den aktuelle metrikken er



og uttrykket for Christoffelsymbolene er



(Bak hver g står det tre indekser. De to første henviser til en komponent i metrikken, for eksempel er 00 den som er øverst til venstre, 03 er nederst til venstre og 33 er nederst til høyre. Den indeksen som står bok kommaet indikerer at det skal deriveres med hensyn på den aktuelle komponenten av x, som også er nummerert fra 0 til 3.)

Så da er det egentlig bare å sette i gang. Det første vi kan merke oss er at av de 64 mulige kombinasjonene av indekser kan vi raskt se at en hel del av dem må være null. De 24 kombinasjonene med tre ulike indekser må være null, ettersom alle kompontentene i metrikken som ikke ligger på diagonalen er null. Av de Christoffelsymbolene som har to like indekser må åpenbart de med 00 og 11 være null, ettersom 00- og 11-komponentene i metrikken er konstanter, så der har vi 16 til som er null. Til slutt ser vi at de eneste som blir forskjellige fra null er de som inneholder kombinasjonene 221, 331 og 332, da 22-komponenten av g kun avhenger av x1, og 33 kun avhenger av x1 og x2. Vi har altså ni Christoffelsymboler som er forskjellig fra null.

Setter man inn og regner ut kommer man frem til følgende resultat.



Så hvorfor poster jeg dette her? Vel, jeg skulle gjerne sjekket om jeg har kommet frem til riktig svar, men jeg greide ikke å finne disse noe sted på nettet. Derfor poster jeg her, og håper på at minst en av våre lesere har både de nødvendige skills og en tilstrekkelig pedantisk legning til å si fra om noe er feil. Og hvis det er riktig vil jeg jo si at jeg gjør menneskeheten en tjeneste ved å gjøre resultatet tilgjengelig for alle og enhver.

-Tor Nordam

Comments

Camilla,  27.03.08 15:51

Jeg er imponert. Plutselig ser ikke fargekodingen min av Edwin Drood like tøff ut.

Tor,  27.03.08 15:58

Det ser ganske heftig ut med en gang man hiver på tre indekser, gjør det ikke?

Jørgen,  27.03.08 15:59

Ahhhhhhhhh! Jeg kjenner at hjernen min vokser.

Kristian,  27.03.08 16:21

Men Tor, hvorfor regner du ut dette? Burde du ikke heller regne ut 0-punkts energien til et eller annet felt, i en eller annen geometri? Eller har masteroppgaven din fått en ny vri?

Jeg bare spör....

Karoline,  27.03.08 16:42

Tor, i tror du har kommet frem til feil svar. Beklager.
Vil ikke spolere spenninga ved å gi d svaret med én gang da. Ville jo blitt litt partypoop.

Tor,  27.03.08 16:44

Jeg skal skrive litt om det såkalte Huggins-leddet, som man kan legge til i energi-impuls-tensoren for å fjerne noen divergenser. I utledningen av dette leddet inngår Ricci-skalaren.

Christer,  27.03.08 16:50

Men det viktige spørsmålet er jo: Hvor er du Tor? Ikke på lesesalen iallfall... Det er jo både grøt og fredagskollokvie i morgen, så da er det best at du kommer.

Karoline,  27.03.08 16:51

Hei, gamla, LOLz'a du ikke av innlegget mitt?
Camilla får vondt inni se av måten i skriv på. mo.ha.ha.

Ragnhild,  27.03.08 21:19

Jeg har enda ikke løst den oppgaven med den kassa på 1x1x1 meter og stigen på ti meter opp mot veggen. Det ble en del forsøk på ligninger, x og y og sånn. Så tenkte jeg at det gikk an å bruke trigonometri, men det ble for skummelt. Komisk. Kan du vise løsningen?

Ole Petter,  27.03.08 23:09

Det ser riktig ut, men det er sent, så ikke stol på meg.

Et greit sted å sjekke slike ting er "The Interactive Geometric Database":
http://130.15.26.66
(søk på "Minkowski" og velg polarkoordinater)
De har en "kalkulator" som kan regne ut det meste (f.x Christoffelsymbolene), men det skal sies at den ikke er like stabil alltid.


B,  27.03.08 23:28

Hvis jeg noen sinne hadde kommet inn i et rom og folkene der hadde fortalt meg at jeg måtte regne ut den flate firevektoren av noe som helst så hadde jeg liksom bare sagt. Hæ! Og så hadde jeg gått ut igjen.

Eivind,  28.03.08 11:46

Jeg hadde først gitt det et oppriktig forsøk. Hvis jeg ikke hadde fått det til hadde jeg tatt det med et smil. Slik: :)

Anders K.,  28.03.08 13:38

Jeg hadde liksom bare sagt "hæ!", jeg også. Ellers så hadde jeg skrevet ned femti sider med oppdiktede formler og levert det med et smil. Slik: :).

Jørgen,  28.03.08 13:59

Dette minner meg om den gangen Hitler invaderte Polen.

Ragnhild,  28.03.08 15:06

Jeg spurte altså etter løsningen på den oppgaven som var postet for en god stund siden, der man skulle finne ut hvor høyt opp på veggen stigen nådde.

Jørgen,  28.03.08 16:42

Jeg tror faktisk Tor aldri kom med den løsningen som Matteus fant frem til. Den som ikke involverer fjerdegradsligninger og grafisk løsning, men som kun brukte 2MX-matte. Kanskje Tor kan være så snill at han legger ut løsningen nå. Det er jo tross alt flere år siden han sa han skulle komme med den.
Ragnhild,  28.03.08 17:24

Nå fant jeg det. En løsning dagen etter. Ok. Jeg tror ikke jeg skal bry min lille hjerne med det mer.

Knut,  31.03.08 16:04

Joda Tor, dette stemmer det. I alle fall selve uttrykkene, fortegnene ... vent litt... Jeg regnet ut med et +--- spor, men jeg virker for meg at 233-leddet ditt skal ha positivt fortegn. Gidder du sjekke?
Category
Physics
Tags
fysikk
masteroppgave
generell relativitet
Christoffelsymbolene
Views
2919
Google hits
2
Last google search
christoffelsymbolene